Mehrkörperdynamik (2V+2Ü) (MKD)5 ECTS
(englische Bezeichnung: Multibody Dynamics)

Lehrveranstaltungen:

• • Mehrkörperdynamik
    (Vorlesung mit Übung, 2 SWS, Sigrid Leyendecker, Mi, 12:15 - 13:45; *Die Vorlesung findet im WS2020/21 in online Form statt*)
  • Übungen zur Mehrkörperdynamik
    (Übung, 2 SWS, Johann Penner, Mi, 16:15 - 17:45; *Übung Online als Stream*)

Empfohlene Voraussetzungen:

Dynamik starrer Körper

Inhalt:

• Kinematik für Systeme gekoppelter starrer Koerper

• Dreidimensionale Rotationen

• Newton-Euler-Gleichungen des starren Körpers

• Bewegungsgleichungen für Systeme gekoppelter Punktmassen/starrer Körper

• Parametrisierung in generalisierten Koordinaten und in redundanten Koordinaten

• Untermannigfaltigkeiten, Tangential- und Normalraum

• Nichtinertialkräfte

• Holonome und nicht-holonome Bindungen

• Bestimmung der Reaktionsgrößen in Gelenken

• Indexproblematik bei numerischen Lösungsverfahren für nichtlineare Bewegungsgleichungen mit Bindungen

• Steuerung in Gelenken

• Topologie von Mehrkörpersystemen
  

Lernziele und Kompetenzen:

Wissen

Die Studierenden:

• kennen das innere, äußere und dyadische Produkt von Vektoren.

• kennen die einfache und zweifache Kontraktion von Tensoren.

• kennen den Satz von Euler für die Fixpunktdrehung.

• kennen mehrere Möglichkeiten, dreidimensionale Rotationen zu parametrisieren (etwa Euler-Winkel, Cardan-Winkel oder Euler-Rodrigues-Parameter).

• kennen die Problematik mit Singularitäten bei Verwendung dreier Parameter.

• kennen die SO(3) und so(3).

• kennen den Zusammenhang zwischen Matrixexponentialfunktion und Drehzeiger.

• kennen die Begriffe Untermannigfaltigkeit, Tangential- und Normalraum.

• kennen die Begriffe Impuls und Drall eines starren Körpers.

• kennen den Aufbau der darstellenden Matrix des Trägheitstensors eines starren Körpers.

• kennen den Satz von Huygens-Steiner.

• kennen die Begriffe holonom-skleronome und holonom-rheonome Bindungen.

• kennen den Begriff des differentiellen Indexes eines differential-algebraischen Gleichungssystems.

• kennen die expliziten und impliziten Reaktionsbedingungen in den Gelenken von Mehrkörpersystemen.

• kennen aus Dreh- und Schubgelenken zusammensetzbare Gelenke.

• kennen niedrige und höhere Elementenpaare.

• kennen den Unterschied zwischen offenen und geschlossenen Mehrkörpersystemen.

• kennen den Satz über Hauptachsentransformation symmetrischer reeller Matrizen.

• kennen die nichtlinearen Effekte bei der Kreiselbewegung.

Verstehen

Die Studierenden:

• verstehen den Unterschied zwischen (physikalischen) Tensoren/Vektoren und (mathematischen) Matrizen/Tripeln.

• verstehen den Relativkinematik-Kalkül auf Lage, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsebene.

• verstehen, wie sich die Matrix des Trägheitstensors bei Translation und Rotation transformiert.

• verstehen die Trägheitseigenschaften eines starren Körpers.

• verstehen den Unterschied zwischen eingeprägten Kräften und Reaktionskräften.

• verstehen den Unterschied zwischen expliziten und impliziten Reaktionsbedingungen.

• verstehen den Impuls- und Drallsatz (Newton-Euler-Gleichungen) für den starren Körper.

• verstehen die mechanischen Effekte, die auftretende Nichtinertialkräfte bewirken.

• verstehen, dass die SO(3) (multiplikative) Gruppenstruktur, die so(3) (additive) Vektorraumstruktur trägt.

• verstehen, warum dreidimensionale Rotationen nicht kommutativ sind.

• verstehen, welche Drehungen um Hauptachsen stabil, welche instabil sind.

• verstehen das Verfahren der Indexreduktion für die auftretenden differential-algebraischen Systeme.

• verstehen das Phänomen des Wegdriftens bei indexreduzierten Formulierungen der Bewegungsgleichungen.

• verstehen, wie man dem Wegdriften entgegenwirken kann.

• verstehen die analytische Lösung der Euler-Gleichungen des kräftefreien symmetrischen Kreisels.

• verstehen die Poinsot-Beschreibung des kräftefreien Kreisels.

• verstehen die Beweise der zugehörigen analytischen Zusammenhänge, einschließlich der Voraussetzungen.

Anwenden

Die Studierenden:

• können Koeffizienten von Vektoren und Tensoren zwischen verschiedenen Koordinatensystemen transformieren.

• können den Relativkinematik-Kalkül anwenden, d.h. mehrere Starrkörperbewegungen miteinander verketten.

• können Rotationen aktiv und passiv interpretieren.

• können allgemein mit generalisierten Koordinaten umgehen.

• können die Winkelgeschwindigkeit zu einer gegebenen Parametrisierung der Rotationsmatrix berechnen.

• können zu einer gegebenen Untermannigfaltigkeit Normal- und Tangentialraum bestimmen.

• können den Impuls- und Drallsatz auf starre Körper anwenden.

• können die Bindungen auf Lage-, Geschwindigkeits und Beschleunigungsebene bestimmen.

• können die Bewegungsgleichungen dynamischer Systeme in minimalen generalisierten Koordinaten aufstellen.

• können die Bewegungsgleichungen dynamischer Systeme in redundanten Koordinaten aufstellen.

• können letztere in erstere überführen.

• können die Lagrange-Multiplikatoren sowie die zugehörigen Reaktionskräfte systematisch als Funktion der Lage- und Geschwindigkeitsgrößen berechnen.

• können geeignete Nullraum-Matrizen finden.

• können die Reaktionskräfte in den Bewegungsgleichungen via Nullraummatrix eliminieren.

• können das Verfahren der Indexreduktion auf die Bewegungsgleichungen in redundanten Koordinaten anwenden.

• können den Index alternativer Formulierungen der Bewegungsgleichungen (etwa GGL-Formulierung) berechnen.

• können das Phänomen des Wegdriftens durch Projektionsverfahren oder Baumgarte-Stabilisierung unterbinden.

• können die translatorische und rotatorische Energie eines starren Körpers berechnen.

• können Hauptträgheitsmomente und -richtungen via Hauptachsentransformation ermitteln.

• können Trägheitsmomente einfacher Körper durch Volumenintegration berechnen.

• können den Satz von Huygens-Steiner anwenden.

• können den Freiheitsgrad holonomer Systeme bestimmen.

• können skleronome und rheonome Gelenke modellieren.

• können Mehrkörpermodelle topologisch und kinematisch klassifizieren.

• können analytische Lösungen der Bewegungsgleichungen (etwa Foucault-Pendel, symmetrischer Kreisel) durch Differentiation verfizieren.

• können die dynamische rechte Seite der Bewegungsgleichungen in Matlab implementieren und mit Standard-Zeitintegrationsverfahren lösen.

• können die Beweise der wichtigsten mathematischen Sätze eigenständig führen.

Analysieren

Die Studierenden:

• können analytische Lösungen der Bewegungsgleichungen (etwa Foucault-Pendel, symmetrischer Kreisel) eigenständig durch Integration bestimmen.

• können die Auswirkungen der Zentrifugalmomente eines starren Körpers bei der Auslegung von Maschinen qualitativ und quantitativ beurteilen.

Erschaffen

Die Studierenden:

• können Mehrkörpermodelle realer Maschinen mit starren Körpern, Kraftelementen und Gelenken selbstständig aufbauen.

• können deren Dynamik durch numerische Simulation analysieren.

Literatur:

• Schiehlen, Eberhard: Technische Dynamik. Teubner, 2004

• Woernle: Mehrkörpersysteme. Eine Einführung in die Kinematik und Dynamik von Systemen starrer Körper. Springer, 2011

Verwendbarkeit des Moduls / Einpassung in den Musterstudienplan:
Das Modul ist im Kontext der folgenden Studienfächer/Vertiefungsrichtungen verwendbar:

1. Berufspädagogik Technik (Master of Education)
   (Po-Vers. 2020w | TechFak | Berufspädagogik Technik (Master of Education) | Gesamtkonto | Wahlpflichtmodule Fachwissenschaft | Mehrkörperdynamik)

Studien-/Prüfungsleistungen:

Vorlesung + Übung Mehrkörperdynamik (Prüfungsnummer: 72701)

(englischer Titel: Lecture/Tutorial: Multibody Dynamics)

Prüfungsleistung, Klausur, Dauer (in Minuten): 120, benotet, 5.0 ECTS

Anteil an der Berechnung der Modulnote: 100.0 %

Erstablegung: WS 2020/2021, 1. Wdh.: SS 2021, 2. Wdh.: keine Wiederholung

1. Prüfer:

Sigrid Leyendecker

Termin: 30.03.2021, 12:30 Uhr, Ort: BASPH
Termin: 07.10.2021, 08:00 Uhr, Ort: H 11
Termin: 12.04.2022, 08:00 Uhr, Ort: BASPH
Termin: 06.10.2022