Numerische Methoden in der Mechanik (3V + 1Ü) (NuMeMech)5 ECTS
(englische Bezeichnung: Numerical Methods in Mechanics)
(Prüfungsordnungsmodul: Numerische Methoden in der Mechanik)

Lehrveranstaltungen:

• • Numerische Methoden in der Mechanik
    (Vorlesung mit Übung, 4 SWS, Holger Lang, Mo, 12:15 - 13:45, H17 Maschinenbau; Di, 8:15 - 9:45, K1-119 Brose-Saal)

Empfohlene Voraussetzungen:

Grundvorlesungen Mathematik
Grundkenntnisse aus Statik, Elastostatik und Dynamik starrer Körper (Technische Mechanik I, II, III)

Inhalt:

(1) Lineare Gleichungssysteme:
Statik, Elastostatik (Finite-Element-Analysen)
Minimierung der quadratischen potentiellen Energie
Lineare dynamische Systeme
Dynamik im Frequenzbereich

(2) Eigenwertprobleme:
Modalanalyse
Entkopplung linearer dynamischer Systeme
Modale Reduktion

(3) Nichtlineare Gleichungssysteme:
Nichtlineare, inkrementelle Elastostatik
Minimierung der potentiellen Energie

(4) Zeitintegration:
Nichtlineare transiente Dynamik mit und ohne Zwangsbedingungen
Steife mechanische Systeme
Explizite und implizite Integrationsverfahren, Stabilität

(5) Automatische Differentiation:
Werkzeug bei der Modellgenerierung
Linearisierung mechanischer Systeme

Lernziele und Kompetenzen:

Wissen
Die Studenten/Studentinnen

kennen die LR-Zerlegung einer Matrix nach Gauss
kennen verschiedene Pivotisierungsstrategien
kennen die Cholesky-Zerlegung einer symmetrisch und positiv definiten Matrix
kennen die QR-Zerlegung einer Matrix nach Givens oder Householder
kennen das Verfahren des steilsten Abstiegs
kennen das Verfahren der konjugierten Gradienten
kennen das Jacobi-Verfahren
kennen den QR-Algorithmus
kennen die von-Mises Vektoriteration, kombiert mit Gram-Schmidt-Orthogonalisierung
kennen das Verfahren der Banachschen Fixpunktiteration
kennen das Newton-Verfahren
kennen das gedämpfte Newton-Verfahren
kennen das vereinfachte Newton-Verfahren
kennen grundlegende Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen, insbesondere von Bewegungsgleichungen der Dynamik
kennen Runge-Kutta-Verfahren.
kennen ABM-, AB- AM-, BDF-Mehrschrittverfahren.
kennen die Problematik bei steifen Differentialgleichungen.
kennen die zugehörigen analytischen Zusammenhänge.

Verstehen
Die Studenten/Studentinnen

verstehen, wie sich der Gausssche Algorithmus numerisch umsetzen lässt.
verstehen, dass Pivotregeln unerlässlich sind für die Genauigkeit der berechneten Lösung.
verstehen, dass im Rechner arithmetische Operationen weder assoziativ, noch kommutativ sind.
verstehen die Idee von Cholesky, eine s.p.d. quadratische Form auf eine Summe von Quadraten zu reduzieren.
verstehen, warum s.p.d. Matrizen in der Elastostatik auftreten.
verstehen, dass eine QR-Zerlegung bei schlecht konditionierten Matrizen exzellent funktionieren kann.
verstehen, wie die Minimierung der potentiellen Gesamtenergie zum Verfahren der konjugierten Gradienten führt.
verstehen, dass die Methode des steilsten Abstiegs zwar universell, jedoch extrem ineffizient ist.
verstehen, warum reelle, symmetrische Matrizen in der Mechanik eine essentielle Rolle spielen.
verstehen, warum Jacobi-Rotationen zur Eigenwertberechnung uneingeschränkt stabil und robust sind.
verstehen, wie die Potenzmethode nach von Mises den kleinsten oder größten Eigenwert einer symmetrischen reellen Matrix liefert.
verstehen, wie die inverse Potenzmethode zum Auffinden der niedrigsten Eigenfrequenz und Eigenschwingform geeignet ist.
verstehen, wie man die Potenzmethode, kombiniert mit Gram-Schmidt-Orthogonalisierung, sukzessiv zum Auffinden der niedrigesten Eigenfrequenzen und Eigenmoden einsetzen kann.
verstehen, unter welchen Voraussetzungen einfache Fixpunktiteration zum Lösen einer nichtlinearen Gleichungen funktioniert.
verstehen, dass mit Hilfe des Newton-Raphson-Iterators Nullstellen von Funktionen stets attraktive Fixpunkte darstellen.
verstehen, dass die Gleichgewichtsbedingungen elastostatischer Systeme durch Energieminimierung via Newton-Raphson-Verfahren gefunden werden können.
verstehen, warum Dämpfungsstrategien bei drohender Divergenz dennoch zu Konvergenz führen.
verstehen, wie die Wahl der Koeffizienten bei Runge-Kutta-Verfahren die Genauigkeitsordnung beeinflusst.
verstehen, wie die Wahl der Koeffizienten bei Mehrschritt-Verfahren die Genauigkeitsordnung beeinflusst.
verstehen die Bedeutung des Stabilitätgebietes eines Integrationsverfahrens anhand der Dahlquist-Gleichung.
verstehen die Idee der automatischen Differentiation.
verstehen die Beweise aller zugehörigen analytisch-numerischen Zusammenhänge, einschließlich den Voraussetzungen.

Anwenden
Die Studenten/Studentinnen

können den Gaußschen Algorithmus numerisch als LR-Zerlegung umsetzen und hierbei verschiedene Pivotisierungsstrategien anwenden.
können den Cholesky-Algorithmus numerisch umsetzen.
können den statischen Gleichgewichtspunkt eines linearen, elastostatischen Systems numerisch berechnen.
können Matrizen anhand verschiedener Bedingungen als s.p.d. identifizieren.
können die QR-Zerlegung nach Givens und/oder Householder numerisch umsetzen.
können das Verfahren des steilsten Abstiegs numerisch umsetzen.
können das Verfahren der konjugierten Gradienten numerisch umsetzen.
können das (klassische und zyklische) Verfahren von Jacobi numerisch umsetzen.
können die Defintheit von Massen-, Dämpfungs- und Steifigkeitsmatrix via Eigenwerte bestimmen.
können mit Hilfe der inversen Potenzmethode nach von Mises die kleinste Eigenfrequenz, samt Eigenschwingform, berechnen.
können die inverse Potenzmethode zusammen mit Gram-Schmidt-Orthogonalisierung numerisch umsetzen, um die nachfolgenden Eigenfrequenzen zu berechnen.
können das Verfahren der einfachen Fixpunktiteration bei kontraktiven Abbildung zur Lösung nichtlinearer Gleichungen numerisch umsetzen.
können das Verfahren von Newton-Raphson zur Lösung nichtlinearer Gleichungen numerisch umsetzen.
können bei Nichtkonvergenz geeignete Dämpfungsstrategien numerisch umsetzen.
können mit Hilfe des Newton-Raphson-Verfahrens statische Gleichgewichtspunkte nichtlinearer Systeme berechnen.
können die Koeffizienten bei Runge-Kutta-Verfahren derart wählen, damit die maximal mögliche Genauigkeitsordnung erreicht wird.
können die Koeffizienten bei Mehrschritt-Verfahren derart wählen, damit die maximal mögliche Genauigkeitsordnung erreicht wird.
können Zeitintegrationsverfahren zur Lösung dynamischer Bewegungsgleichungen numerisch umsetzen.
können eine adaptive Zeitschrittweitensteuerung bei eingebetteten Runge-Kutta-Verfahren numerisch umsetzen.
können die rechte Seite der Lagrange-Gleichungen dynamischer Systeme implementieren.
können das Phänomen des Wegdriftens durch Projektionsverfahren oder Baumgarte-Stabilisierung unterbinden.
können das Matrixexponential diagonalisierbarer Matrizen berechnen.
können das Stabilitätsgebiet eines Zeitschrittverfahrens bestimmen.
können das Verfahren der automatischen Differentiation zur Generierung von Jacobimatrizen, welche innerhalb eines Algorithmus benötigt werden, anwenden.
können zumindest alle behandelten Verfahren an Demonstratorbeispielen Schritt für Schritt nachvollziehen.
können die Beweise der wichtigsten mathematischen Sätze eigenständig führen.

Analysieren
Die Studenten/Studentinnen

können die Beweisideen schwieriger Theoreme analysieren.
können die Funktion eines numerischen Verfahrens anhand der analytischen Lösung grundlegender mechanischer Systeme (etwa Ein- und Zweimassenschwinger) verifizieren.
können mathematisch-mechanische Zusammenhänge/Aussagen auf Gültigkeit hin analysieren, diese ggf. beweisen oder durch ein Gegenbeispiel widerlegen.
können analysieren, welche numerische Methode zur Lösung eines gegebenen mechanischen Problems adäquat ist.

Evaluieren
Die Studenten/Studentinnen

können beurteilen, welche Fehler (relativ zur Realität) auf die Modellierung oder auch auf die numerischen Methoden zurückzuführen sind.
können beurteilen, welche Fehler durch 'numerisch falsche' Programmierung entstehen. (Assoziativ- und Kommutativgesetze sind im Rechner nicht gültig.)

Erschaffen
Die Studenten/Studentinnen

können verschiedene numerische Algorithmen zur Simulation eines komplexen mechanischen Problems vereinigen, effizient und 'numerisch korrekt' programmieren.
konstruieren eigene Dämpfungsstrategien (Newton-Raphson), Zeitschrittweitensteuerung, Zeitintegrationsverfahren (z.B. mehrstufige Mehrschrittverfahren).
finden neue Runge-Kutta-Verfahren.

Literatur:

Im StudOn als PDF hinterlegt. (Link befindet sich unten.)

Verwendbarkeit des Moduls / Einpassung in den Musterstudienplan:

1. Computational Engineering (Rechnergestütztes Ingenieurwesen) (Master of Science)
   (Po-Vers. 2013 | TechFak | Computational Engineering (Rechnergestütztes Ingenieurwesen) (Master of Science) | Wahlpflichtbereich Technisches Anwendungsfach | Solid Mechanics and Dynamics | Numerische Methoden in der Mechanik)

Studien-/Prüfungsleistungen:

Vorlesung + Übung Numerische Methoden der Mechanik (Prüfungsnummer: 74401)

Prüfungsleistung, mündliche Prüfung, Dauer (in Minuten): 30, benotet

Anteil an der Berechnung der Modulnote: 100.0 %

Erstablegung: WS 2019/2020, 1. Wdh.: SS 2020

1. Prüfer:

Holger Lang

Ort: Seminarraum 01.025 des LTD (Immerwahrstraße 1)